Una ecuación expresa la restricción de que dos expresiones tienen el mismo valor numérico. Por ejemplo, una ecuación que conocemos todos es la ecuación cuadrática:

Nótese que ambas partes de la igualdad no son idénticas: lo que se expresa en una ecuación es que la evaluación de ambas partes tiene que dar el mismo valor.

Una fórmula, por el contrario, nos da instrucciones para calcular algo, y en matemáticas/física esas instrucciones se nos dan en forma de una expresión. Por ejemplo, para la ecuación anterior, sus soluciones (los valores de x que hacen que se cumpla la ecuación) vienen dados por la conocida fórmula:

También se le puede dar un nombre al resultado de evaluar una fórmula, como por ejemplo:

Nótese que la ecuación expresa una restricción que afecta a dos expresiones: ambos lados de la igualdad son importantes, mientras que la fórmula consiste en una única expresión, en principio sin restricción alguna. En una ecuación no puedo quedarme con sólo un lado de la igualdad, en una fórmula sí.

Quizá lo entendamos mejor si pensamos en una fórmula como una función o una asignación en un lenguaje de programación: se evalúa un lado del «=» y el resultado se le asigna al otro lado, que es la variable sujeto de la fórmula. En general, las ecuaciones ni funcionan ni se resuelven de esa forma.

¿Puedo usar cualquier ecuación como si fuera una fórmula?

Pongamos que tengo la ecuación cuadrática anterior reescrita de la siguiente forma:

Y llamo BE a la parte derecha de la ecuación:

¿Puedo usar la fórmula de BE y asignarle el resultado que obtenga a la parte izquierda de la ecuación, para que la igualdad se cumpla? ¿Tengo alguna garantía de que los valores escogidos para la fórmula satisfacen la ecuación? No, ninguna. El resultado que se obtenga al evaluar la fórmula no tiene por qué satisfacer la ecuación que supuestamente implementa. Repito:

el resultado de evaluar la fórmula no guarda relación con la restricción que impone la ecuación

Sostener que se puede usar esa fórmula en lugar de la ecuación es una salvajada.

Una analogía

Supongamos que tenemos un muelle que tiene uno de los extremos unido a una pared y estiramos del otro extremo (con una fuerza F_e). En un muelle se cumple que en todo momento el módulo de la fuerza que ejerce es F_m=k·x, siendo x el módulo del desplazamiento a que está sometido el muelle respecto de su punto de equilibrio y k una constante característica del muelle, denominada constante elástica del muelle. La fuerza que ejerce el muelle tiende a llevarlo a su punto de equilibrio.

Supongamos ahora que tenemos dos muelles diferentes unidos a un mismo objeto por un lado y a una pared por el otro, tal y como se muestra en el dibujo:

Suponiendo que hemos alcanzado el equilibrio de fuerzas, podemos afirmar que, en módulo, las fuerzas que van hacia la derecha se equilibran con las que van hacia la izquierda:

o, equivalentemente,

Hasta aquí, todo correcto. Pero supongamos que yo defino la siguiente fórmula, pretendiendo que es lo mismo que la ecuación anterior:

¿Es esta fórmula equivalente a la ecuación? ¿Es lo mismo resolver una ecuación con tres términos que evaluar una fórmula que sólo tiene dos de esos tres términos? ¿Es correcto el cálculo del valor de F_m2 que se hace con la fórmula?

Vamos a responder a esas preguntas. Pongamos por caso que k₂ cambia con el tiempo. Según la ecuación, el punto de equilibrio (valor de x en el que el sistema no se mueve) cambiará y con él cambiarán ambas fuerzas, F_m1 y F_m2. Miremos de nuevo la fórmula: ¿cómo contempla la fórmula los cambios de F_m2 que son consecuencia de las variaciones en k₂?

La fórmula no considera k₂, lo que demuestra que la fórmula no sólo no es correcta, sino que no puede serlo nunca, por mucho que la compliquemos, porque los términos que participan en la fórmula no dependen de k₂.

De acuerdo. El principio de conservación de la energía aplicado al cuerpo humano se puede escribir como:

Pero en el Grado de Ciencias de la Tautología dicen que en lugar de resolver la ecuación de tres términos, ellos como los grandes expertos en física y matemáticas que son, usan una fórmula con sólo dos:

Chapuza. Salvajada. Barbaridad.

Y esta salvajada tiene un nombre: CICO.

Lo hablamos este fin de semana en el canal de Jota.

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